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[Lecture 4] 嵌套量词

在构成多个逻辑变元的表达式时,我们往往会使用多个量词。

例如「对于所有的 x,存在 y 满足 x+y=1」,我们可以翻译为以下:

xy(x+y=1)

将多个量词嵌套起来即构成了 嵌套量词

1 循环量化考虑

当逻辑变元增多时我们就需要通用的方式来考虑含有嵌套量词语句的意义。一种常用的方式即借助嵌套循环来思考。

例如要判定 xyP(x,y) 是否为真,我们对所有的 x 做循环,对于其中任意一个 x0,对 y 做循环,任意一个 y0 都满足 P(x0,y0),那么 xyP(x,y) 为真,否则为假。

xyP(x,y) 即循环所有的 x,固定一个 x0,循环所有的 y,如果遇到了其中一个 y0 满足 P(x0,y0) 那么 xyP(x,y) 为真,否则为假。

xyP(x,y)xyP(x,y) 考虑方式类似。

2 量词顺序

在循环量化语句中的顺序不同可能会导致语句的判断结果不同。考虑:

xy(x+y=1)

xy(x+y=1)

对于第一个语句,循环 x,对于任意一个 x0,循环 y,都可以找到一个 y0=1x0 使得 x0+y0=1,所以第一个语句为真。

对于第二个语句,循环 x,遇到一个 x0,循环 y ,对于任意一个 y0 显然不可能都有 x0+y0=1 成立,所以第二个语句为假。

上面的讨论即说明了 交换顺序会导致语句意义的改变。然而,考虑:

xyP(x,y)

yxP(x,y)

「循环 x,对于任意 x0,循环 y,对于任意的 y0」与 「循环 y,对于任意的 y0,循环 x,对于任意的 x0」的所做的事情完全相同,所以

xyP(x,y)yxP(x,y)

上面的讨论说明了 之间交换顺序,语句意义不变。

类似的道理, 之间交换顺序,语句的意义不变。

3 翻译含有嵌套量词的语句

这类语句在数学中非常常见,例如,对于极限的定义,以下是 (ε,δ) 定义:

limxaf(x)=L : 对于每个实数 ε>0,存在一个实数 δ>0,使得对于任意一个 x, 只要 0<|xa|<δ,就存在 |f(x)L|<ε

以上语句可以翻译为:

εδx(0<|xa|<δ|f(x)L|<ε)

其中 εδ 的论域为全体正实数集合,x 论域为全体实数集合。

4 否定嵌套量词

继续上面的例子,如果想表达 「limxaf(x)L」,有下面的表达方式:

¬εδx(0<|xa|<δ|f(x)L|<ε)

根据上节否定量词的讨论,以上句子等价于下述语句:

ε¬δx(0<|xa|<δ|f(x)L|<ε)

εδ¬x(0<|xa|<δ|f(x)L|<ε)

εδx¬(0<|xa|<δ|f(x)L|<ε)

εδx(0<|xa|<δ|f(x)L|ε)

(上面的最后一步利用了等价式 ¬(pq)p¬q

进而,如果 「limxaf(x) 不存在」,即对于所有的 L 都满足:

limxaf(x)L

它可以由以下语句表示:

Lεδx(0<|xa|<δ|f(x)L|ε)

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