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[Lecture 5] 推理规则

在建立了命题以及命题的演算规则之后,我们将讨论 证明

  • 论证 :即一连串命题最终得出结论
  • 前提 :一连串命题中除最后一个命题之外的命题
  • 结论 :一连串命题最后一个命题
  • 证明 :建立在数学命题 真实性 之上的 有效论证

有两个词值得我们注意,一个是 真实,一个是 有效

真实即论证所依赖的 前提 值为真,在此情况下一个有效论证即为证明。

论证可以是有效的或者无效的,当它的所有前提为真时结论为真即为 有效论证 ,有效论证满足推理规则。否则我们将得到不正确的推理,即 谬误

1 有效论证

考虑以下论证:

「如果你有正确的密码,那么你可以登录账号」
「你有正确的密码」

所以

「你可以登录账号」

在考虑一段论证是否是有效论证时,我们需要知道,除开保证每一个前提为真这样的要求,怎样的论证方式会引导我们得到值为真的结论。

为了回答上述问题,我们在此引入形式化表示,pq 分别表示 「你有正确的密码」,「你可以登录账号」,那么以上论证可表示为:

pqpq

由于

((pq)p)q

是永真式,所以当 pqp 为真时 q 总是为真,因而我们说上述论证是 有效 的,它是一个证明。

有一点需要注意的是论证的 有效 与否取决于 论证形式,即只要形式有效该论证依然是有效论证。上式中如果 p 为假,我们无法证明 q 为真,但是该论证是有效的。

2 推理规则

从上面的讨论中我们发现,要使一段论证有效,需要构建一个永真式使得前提为真时结论自动为真。要做到这件事情我们可以将每个前提和取,将和取后的表达式 p 带入条件语句 pq 验证其是否为永真式。当然这样做需要列出非常长的真值表,前提多的时候就非常难以接受了(非常多的时候计算机也无法接受)。为此我们可以利用 推理规则 简化有效论证形式的验证。

上述讨论的永真式:

((pq)p)q

是一个叫做 假言推理 或者 分离规则 的推理规则,这个规则导致了以下论证形式有效:

pqpq

例如这个论证:

如果今天下雪,我们将去滑雪。
今天下雪。

所以

我们将去滑雪。

满足上面的形式,因而如果 「如果今天下雪,我们将去滑雪」 与 「今天下雪」 语句为真,那么结果为真。

类似的,我们可以总结出一系列推理规则,从而根据这些推理规则验证论证的有效性:

推理规则 永真式 名称
ppqq
[p(pq)]q 假言推理
¬qpq¬p
[¬q(pq)]¬p 取拒式
pqqrpr
[(pq)(qr)](pr) 假言三段论
pq¬pq
[(pq)¬p]q 析取三段论
p(pq)
p(pq) 附加
pqp
[pq]p 化简
pqpq
[(p)(q)](pq) 和取
pq¬prqr
[(pq)(¬pr)](qr) 消解

有了这样的推理规则,我们就可以直接从形式上验证论证的有效性,例如下面这个例子将展示推理规则的运用:

如果今天下雨,那么我们今天将不野餐。
如果我们今天不野餐,那我们将明天将野餐。

因此

若今天下雨,则明天野餐。

假设 pqr 分别为「今天下雨」、「我们今天不野餐」、「我们明天野餐」,那么该论证的前提为 pqqr,结论为 pr,上述论证可以写为:

pqqrpr

满足 假言三段论,因而该论证形式上是有效的。

下面这个例子将结合多次推理规则:

若你发给我邮件,那么我将完成编写程序。
若你不发给我邮件,那么我将早早去睡觉。
如果我早早去睡觉,那么明早我将精力充沛地醒来。

因而

如果我不编写程序,那么我明早将精力充沛地醒来。

假设 pqrs 分别代表「你给我发邮件」、「我完成编写程序」、「我早早去睡觉」、「明早我讲精力充沛地醒来」,那么该论证的前提为 pq¬prrs,结论为 ¬qs,为了证明论证可以得到结论,有以下步骤:

  1. pq 引入前提
  2. ¬q¬p 步骤 1 的逆否命题
  3. ¬pr 引入前提
  4. ¬qr 假言三段论(由步骤2,3)
  5. rs 引入前提
  6. ¬qs 假言三段论(由步骤4,5)

因而:

pq¬prrs¬qs

是有效论证。

3 谬误

常见的谬误来自于不正确的推理规则,这些推理规则并不基于永真式,因而前提正确该论证无法保证结果正确,例如命题:

[(pq)q]p

不是永真式,当 p 为假 q 为真时上述命题为假。即对于前提 pqq 为真时得到 p 为真的论证不是有效论证。这种不正确的推理称为 肯定结论谬误

例如下面这个论证:

你做完这本书上的每一题,那么你学习过离散数学。
你学习过离散数学。

所以

你做完了书上每一题。

不是有效论证,因为你可能通过其他的方式而不只是做这本书的习题来学习离散数学。

4 带量词命题的逻辑推理

以下是带量词命题的推理规则:

  • 全称示例:从前提 xP(x) 为真得出 P(c) 为真
  • 全称生成:对于论域中所有元素 c 使得 P(c) 为真时,xP(x) 为真
  • 存在示例:从前提 xP(x)为真得出论域中存在元素 c 使得 P(c) 为真
  • 存在生成:对于已知论语中的元素 c 使得 P(c) 为真,那么 xP(x) 为真

例如下面这个例子:

这个班上的某个学生没有读过书
班上的每个人都同过了考试

所以

通过考试的某个人没有读书

假设 C(x) 表示「x 在班上」,B(x) 表示「x 读过了书」,P(x) 表示「x 通过了一门考试」,那么:

  1. x(C(x)¬B(x)) 引入前提
  2. C(a)¬B(a) 存在示例(由步骤 1)
  3. C(a) 化简(由步骤 2)
  4. x(C(x)P(x)) 引入前提
  5. C(a)P(a) 全称示例(由步骤 4)
  6. P(a) 假言推理(由步骤 3,5)
  7. ¬B(a) 化简(由步骤 2)
  8. P(a)¬B(a) 和取(由步骤 6,7)
  9. x(P(x)¬B(x)) 存在生成(由步骤 8)

因而

x(C(x)¬B(x))x(C(x)P(x))x(P(x)¬B(x))

是有效论证。

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