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Android Canvas 的力学仿真(实验) 中的文章

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三点弯曲梁的主应力分布

从上一篇我们应该了解了 Android Canvas 绘图的大致方案(尽管可能有很多问题),这个方案给了我强烈的信心:虽然在移动设备上做科学计算还相对较少,不过沿着这条路走看来是可行的。

所以这一篇我打算简单介绍一下实验的第一个模型,也就是 三点弯曲试验 中的 欧拉-伯努利梁(无缺陷),讨论它在集中载荷的作用下的正应力与切应力分布,然后使用平面应力状态计算在结构中任何一点的主应力。

1 模型、弯矩与剪力

模型如同上图所示,梁长 L,横截面高 h,宽 b,在距 Aa 的地方施加集中力 P

根据简单受力分析,有弯矩图:

弯矩的分布:

Mz={Pa(La)Lxa0xaPa(La)L(Lx)aa<xL

与剪力图:

剪力的分布:

Fs={P(La)L0xaPaLa<xL

2 弯曲正应力

正应力即在梁横截面垂直方向所受的力。在讨论正应力之前我们有一个假设:横截面在变形之后依然维持一个平面,即 平面假设

取同高度相邻两点 PQ 两点作为研究对象,对于弯曲后相对于弯曲前的线应变有

ϵ=pq^pq¯pq¯=pq^dxdx=(ρy)dθρdθρdθ=yρ

其中 ρ 为中性层(y=0)的曲率半径,目前尚未求得

由胡克定律有主应力:

σ=Eyρ

考虑横截面上微面积 dA,作用在其上的合力为 σdA,所以在整个面上由静力关系有:

Mz=A(y)σdA=EρAy2dA

将上式中的 Ay2dA 单独拿出来,这是一个 只与截面几何性质有关的常量 ,我们称其为对 z 轴的 惯性距 Iz,从而上式可以改写成

1ρ=MzEIz

注意到我们根据静力关系得到了 ρMz 的关系,将上式带入胡克定律有

σ=MzyIz

这是我们实际求解正应力的依据

3 弯曲切应力

切应力是平行于横截面方向的力(确切的说,在这个例子中主要是 y 方向的切应力,并且遵循沿宽度均匀分布)

如上图所示,由于切应力互等定理,横截面与纵截面上的 τ 值相等

因而取长为 dx 的微段

x 方向静力平衡,有

F2F1=τbdx

其中 F1F2 为左右微段正应力的水平合力,即

F1=A|σ|dA=MzIzAydA=MzIzS

F2=A|σ|dA=Mz+dMIzAydA=Mz+dMIzS

其中 SAydA) 是参考面 Az 轴的静距,因而

τ=SbIzdMdx

由于对于微段力矩平衡(Fsdx=dM)有

τ=SbIzFs

此即实际求解时的切应力

4 应力状态与主应力

我们还剩一件事没做,那就是求解主应力

为什么我们要求主应力呢?可以想象,任何一点最普遍的受力情形是三向受力而且每个面上可能会有两个方向的切应力分量,就像下面这个样子

这个可以由一个统一的应力张量来表示:

σ=(σ11τ12τ13τ21σ22τ23τ31τ32σ33)

由于剪应力互等所以应力张量只有 6 个独立分量,人们还不满足,因为这个应力张量可以通过坐标变换转换到一个特殊的坐标系下,这个坐标系下应力张量的切应力分量都为 0,即

σT=λT

这样一个坐标系下的应力非常利于分析。求特征值 λ 即得到了该特殊坐标系的主应力值

现在回到我们的模型,我们只有正应力 σ 与切应力 τ,因而

σ=(στ0τ00000)

特征值的求解非常容易,由

|σλI|=0

从而

|σλτ0τλ000λ|=0

这是一个关于 λ 的三次方程,解之有

(λ1λ2λ3)=(12σ+σ24+τ2012σσ24+τ2)

这与我们使用 莫尔圆 的分析的结果是一致的

由于 λ2 恒为 0,我们主要关注 λ1λ3,即实际求解中的主拉应力与主压应力

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