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  • 符合人类认知的方式
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    符合人类认知的方式

    对于部分处在大一下的HUST工科生来说,线性代数 这种课从入门开始就是一场虽然称不上噩梦(毕竟大家最后成绩都还不错)但也并不怎么轻松加愉快的经历。即使从后续课程的角度上来说人们最终会开始渐渐明白其中的一些符号与想法是一种怎样的抽象与方便的存在,但线代的思维决定了很多人必须转变之前对于数学就是“简单的带入然后推导”这样惯性的想法。

    当然我无意于在这里解释线代本身,而是想说说两种不同的认知方式。

    1 大一下部分工科狗的线代日常

    数学系看得出来一直是很缺人的,给我们上课的是一个中年偏瘦的女老师。和之前的微积分老师一样,从直观的印象上看都应该比他们的实际年龄更老。搞基础数学与教学的教师,生活的苦逼可想而知。

    她会很严谨地将课件上要讲的内容复述,一些特别重要的内容(诸如线性变换、线性相关的证明)会板书推导。线代内容中的重复项很多,可能为了解释一个简单的概念也要写半个黑板,不过这似乎并不怎么妨碍她继续讲下去的动力。很佩服她即使在一些很容易弄混的点,口中的名词不断喷涌而出时也总能恰当好处地排列好这些名词的组合而且不出错误,即使台下的多数学生已经不知道她的话与“巴拉拉能量”有什么区别。

    如果要用两个字来概括,那就是“严谨”。严谨到任何一个细节都要避免出错误,每一次登台都像一次演出。而她的任务就是让演出完美地进行,直到结束。

    教学的顺序,我没记错的话应该是 行列式 - 克拉默法则 - 矩阵与矩阵运算 - 线性变换与线性空间 - 特征值与特征向量

    就像书上写的那样。这是一种很典型的思路,我们可以把这种由定理出发的方式列为 思路1 。先讲基础(定义,公理)而后层层推演(并且多数后一步的推演都要用到前一步的结论),直到核心(例如线性空间),最后再来一些扩展。逻辑上丝丝入扣,毫无反驳的可能。

    严谨精确的讲述与典型的教学顺序。当然效果嘛,就像你想象的那样, 多数人并不能一直跟上她的思路

    一旦思路脱节,还在纠结“巴拉拉能量1”的时候,基本上就意味着“巴拉拉能量11、12” 已经和你说再见了。这倒不是说讲的有多快,而是大多数时间人们都不知道接下来想干嘛。

    2 另一种方式

    很早之前就有翻到科大李尚志的线代课。

    当然老师总有一些套话以及喜欢在学生面前展示自己的哲学与方法论的习惯,李老师并不例外(其实有些还是很有道理的:)。不过跟着他的思路走总觉得有一种莫名舒服的感觉。

    李先避开线代中的各种约定好的框架不谈,而是直接抛出一个基本问题:如何求解方程组。


    “如何求解二元的线性方程组?”

    小学生水平就可以解决。

    “那么三元的呢?”

    听起来有点意思,似乎要拼凑一下,不过答案也呼之欲出。

    那么问题来了:“如何求解任意的线性方程组?”、“当元数超过五个的时候你还会拼凑吗?”

    显然是不可能的,谁和谁凑,按什么顺序凑,如何保证不会因为大脑发热然后凑成原来的样子,这都是问题。

    我们此时需要的是一个 通用 的解决方案。

    要知道 聪明的人类是会从重复的问题中抽象出相同的模式的 。既然是一套流程,我们不妨把它按照一定的顺序列出来看看会发生什么。然后呢,你会发现这左边的一堆式子模式好接近,每次都要写累死了,不如通过某种方式把未知量提出来,然后我们可以自然地…

    一个矩形框住一系列数,一个向量,得到另一个向量。

    再然后呢,神奇的是它们依然可以看做是一个个方程的集合。要求解方程组,将不同的方程之间按照某些规则组合一下,如果它可以还原的话,我们要求的问题依然没变。但是从刚才那个矩形框和两个向量的角度看呢,这似乎是一种变换诶。那么我们可以构造出一种通用的流程来处理这个问题。

    … …


    好了这里不是线代课就不继续往下延伸了,再讲下去选主元的高斯消元法都出来了。

    我们暂且把这种解决问题的思路列为 思路2

    3 “莫名的舒服的感觉”

    当然站在今天的角度我们可以对这种方式不屑、评头论足,然后直接甩出结论。但对于一个思维模式刚受到转变的人来说,这样一种引导显得自然而“舒服”。

    至于为什么自然,道理似乎可以体会但不那么明朗。

    我们把学习看做是一个找出方法解决问题的过程。上面这句话有两个关键点,第一个是“找到方法”,第二个是“解决问题”。

    实际上,真实历史中的人们很可能是通过 思路2 来慢慢演化最终得到一套完整的理论,这是一个自然的过程。他们在不断抛出问题,抛出解决方案,然后问题Update,解决方案随之Update。每一次Update都可以找到明确的来由。

    但随后为了数学证明的需要,我们需要将完整的理论拆解,从基本定义、定理出发,再慢慢反推回去。在这个过程中,我们将顺序进行了人为的排列。也就是说,证明的时候我们是站在一个较高的高度将某些已经思考过的结果当作已知条件在相对靠前的位置不加解释地摆出来。而事实上人们一开始可能并不是那样想的。 思路2 ,更像是一种不断试错不断更新的模型,它的很多想法带有启发性,但是作为严格证明又太不登大雅之堂遂被舍弃。

    所以常常导致的结果就是在你没有一个清晰的对该领域全局的掌控能力的时候,此时你并不知道之前讲的要干啥,不经意间,之后的推演不断裹挟着之前的结论从你身边呼啸而过。

    也就是说, 思路1 经过了人为排列,因而在顺序上会反自然,反直觉。


    说到底还是两种排列方式的取舍。

    不过目前来看第一种似乎依然是主流:)

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