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[Lecture 5] 推理规则

在建立了命题以及命题的演算规则之后,我们将讨论 证明

  • 论证 :即一连串命题最终得出结论
  • 前提 :一连串命题中除最后一个命题之外的命题
  • 结论 :一连串命题最后一个命题
  • 证明 :建立在数学命题 真实性 之上的 有效论证

有两个词值得我们注意,一个是 真实,一个是 有效

真实即论证所依赖的 前提 值为真,在此情况下一个有效论证即为证明。

论证可以是有效的或者无效的,当它的所有前提为真时结论为真即为 有效论证 ,有效论证满足推理规则。否则我们将得到不正确的推理,即 谬误

1 有效论证

考虑以下论证:

「如果你有正确的密码,那么你可以登录账号」
「你有正确的密码」

所以

「你可以登录账号」

在考虑一段论证是否是有效论证时,我们需要知道,除开保证每一个前提为真这样的要求,怎样的论证方式会引导我们得到值为真的结论。

为了回答上述问题,我们在此引入形式化表示,pq 分别表示 「你有正确的密码」,「你可以登录账号」,那么以上论证可表示为:

pqpq

由于

((pq)p)q

是永真式,所以当 pqp 为真时 q 总是为真,因而我们说上述论证是 有效 的,它是一个证明。

有一点需要注意的是论证的 有效 与否取决于 论证形式,即只要形式有效该论证依然是有效论证。上式中如果 p 为假,我们无法证明 q 为真,但是该论证是有效的。

2 推理规则

从上面的讨论中我们发现,要使一段论证有效,需要构建一个永真式使得前提为真时结论自动为真。要做到这件事情我们可以将每个前提和取,将和取后的表达式 p 带入条件语句 pq 验证其是否为永真式。当然这样做需要列出非常长的真值表,前提多的时候就非常难以接受了(非常多的时候计算机也无法接受)。为此我们可以利用 推理规则 简化有效论证形式的验证。

上述讨论的永真式:

((pq)p)q

是一个叫做 假言推理 或者 分离规则 的推理规则,这个规则导致了以下论证形式有效:

pqpq

例如这个论证:

如果今天下雪,我们将去滑雪。
今天下雪。

所以

我们将去滑雪。

满足上面的形式,因而如果 「如果今天下雪,我们将去滑雪」 与 「今天下雪」 语句为真,那么结果为真。

类似的,我们可以总结出一系列推理规则,从而根据这些推理规则验证论证的有效性:

推理规则 永真式 名称
ppqq
[p(pq)]q 假言推理